KONJUNGSI
Pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung
"dan" atau disimbolkan dengan "∧". Pernyataan konjungsi hanya akan bernilai
benar, jika kedua pernyatan yang terdapat di dalamnya bernilai benar. Jika
salah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai
salah.
|
P
|
Q
|
P ∧ Q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
DISJUNGSI
Pernyataan
majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "atau" yang disimbolkan
dengan "v". Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataan
disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terdapat di
dalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka
pernyataan disjungsi juga bernilai benar
|
P
|
Q
|
P V Q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
S
|
INGKARAN ( NEGASI )
Pernyataan
yang isinya mengingkari sesuatu nilai pernyataan. Negasi biasa disimbolkan
dengan lambang"~" yang berarti tidak atau bukan. Jika suatu
pernyataan menyatakan benar, maka negasinya adalah salah.
|
P
|
~P
|
|
B
|
S
|
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
IMPLIKASI
Pernyataan majemuk
yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan dengan kata hubung
"maka" yang disimbolkan dengan "→ ". Misal p → q dibaca jika p maka q.
|
P
|
Q
|
P → Q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
BIIMPLIKASI
Bentuk kompleks dari
implikasi yang berarti "jika dan hanya jika" dan disimbolkan dengan
"↔ ". Misal
p ↔ q dibaca p jika dan hanya jika q.
|
P
|
Q
|
P ↔ Q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
Contoh
Soal
Buatlah tabel kebenaran
dari ekspresi logika berikut :
1. P ∧ ( P v Q )
2. P ∧ ( ( R v Q ) ↔ R )
3. ~ ( P ∧ Q )
4. ( P ∧ Q ) ↔ R
1. P ∧ ( P v Q )
2. P ∧ ( ( R v Q ) ↔ R )
3. ~ ( P ∧ Q )
4. ( P ∧ Q ) ↔ R
Penyelesaian
Negasi
~p
Pernyataan negasi merupakan
pernyataan yang menyangkal pernyataan awal, atau lawan dari pernyataan awal.
Untuk membuat tabel kebenaran dari pernyataan negasi, terlebih dahulu kita buat
tabel kebenaran untuk nilai kebenaran pernyataan asalnya. Pernyataan asal (p)
dapat bernilai salah atau benar. Maka tabel nilai kebenaran dari pernyataan p
adalah:
|
p
|
|
B
|
|
S
|
Bila p bernilai benar, maka ~p
akan bernilai salah, karena ~p menyangkal kebenaran di p. Jika p salah, ~p
bernilai benar. Tabel kebenaran untuk negasi mendeskripsikan nilai kebenaran
yang diberikan oleh ~p. Baris pertama pada tabel kebenaran dibaca "~p
salah bila p benar", sedang baris kedua dibaca "~p benar saat p
salah."
|
p
|
~p
|
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
Konjungsi
p^q
Konjungsi menggabungkan dua
pernyataan dengan kata hubung logika 'dan.' Kalimat majemuk "Burhan
seorang dokter dan kader partai golkar" adalah sebuah konjungsi dengan
representasi simbol sebagia berikut.
p : Burhan seorang dokter
q : Burhan kader partai demokrat
p^q : Burhan seorang dokter dan kader partai
demokrat.
Nilai kebenaran suatu
pernyataan majemuk bergantung dari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan yang
menyusunnya. Berapa banyak baris yang dibutuhkan dalam tabel kebenaran
konjungsi p^q? Karena p memiliki dua kemungkinan, demikian pula dengan q,
kombinasi kemungkinan-kemungkinan itu ada 4 (2.2).
|
p
|
q
|
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
Suatu konjungsi p^q benar bila
masing-masing pernyataan-pernyataan yang menyusunnya benar, kombinasi selain
itu bernilai salah. Simbol p maupun q dapat merepresentasikan pernyataan apa
saja. Pernyataan majemuk p dan q bergantung pada nilai kebenaran masing-masing
p dan q. Misalnya konjungsi p^q salah ketika p salah dan q benar. Berikut
adalah tabel kebenaran konjungsi p^q selengkapnya.
|
p
|
q
|
p^q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
Disjungsi
pvq
Disjungsi menggabungkan dua
pernyataan dengan kata hubung logika 'atau'. Pernyataan majemuk "Burhan
adalah seorang dokter atau kader partai golkar" merupakan disjungsi (atau
inklusif) dengan presentasi simbolisnya:
p : Burhan seorang dokter
q : Burhan kader partai golkar
pvq : Burhan seorang dokter atau kader partai
golkar.
Walaupun dalam kenyataan
Burhan yang seorang dokter bukan kader partai golkar, disjungsi pvq diatas
tetap bernilai benar. Disjungsi bernilai benar bila paling tidak terdapat satu
pernyataan penyusunnya yang bernilai benar. Disjungsi salah bila nilai kebenaran
setiap penyusunnya salah.
|
p
|
q
|
pvq
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
S
|
Kondisional
p -> q
Kondisional merupakan
pernyataan majemuk dalam bentuk 'jika p maka q' yang disimbolkan p -> q.
Bagaimanakah kebenaran kondisional? Perhatikan kalimat 'Jika kamu memberi Rp.
20.000,- padaku, akan kubelikan tiket konser untukmu.' Representasi simbolis
dari kalimat tersebut adalah sebagai berikut:
p : Kamu memberiku Rp. 20.000,-
q : Aku membelikan tiket konser untukmu.
p
-> q : Jika kamu memberiku
Rp 20.000,-, Aku akan membelikan tiket konser untukmu.
Kondisional dapat dipandang
sebagai sebuah janji. Anggap kamu benar-benar memberiku 20 ribu, maka aku akan
mempunyai dua opsi, apakah membelikan atau tidak. Bila aku membelikan (q = B)
maka pernyataan tersebut benar. Tetapi bila aku tidak membelikan (q = S) maka
kalimat tersebut salah. Situasi ini dapat digambarkan sebagai berikut.
|
p
|
q
|
p->q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
?
|
|
S
|
S
|
?
|
Lalu bagaimana bila kamu tak
memberiku 20 ribu? p = S? Tentu apakah aku akan memberimu tiket atau tidak, p
-> q tidak salah. Karena janji hanya dipenuhi bila p benar. Karena p -> q
tidak salah, maka bila p salah secara langsung membuat nilai kebenaran p ->
q benar. Tabel kondisional yang lengkap adalah sebagai berikut.
|
p
|
q
|
p->q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
Ekspresi
yang ekuivalen
Saat kamu membeli mobil, mobil
tersebut bisa baru maupun lama. Sales akan mengatakan "Tentu tidak benar
mobil ini bukan mobil baru." Kalimat majemuk ini memiliki satu
kalimat pernyataan (Mobil ini baru) dan dua negasi.
"Tentu tidak benar" "Mobil ini bukan
mobil baru"
~
~p
Apakah ini berarti mobil
tersebut baru? Untuk mengetahui kebenarannya, kita dapat mengkonstruksikan
tabel kebenaran untuk ekspresi logika ~(~p) dan membandingkannya dengan p.
Karena hanya ada satu pernyataan tunggal, maka kita hanya perlu 2 baris dalam
tabel. Kita akan memiliki kolom p, ~p dan ~(~p). ~p memberikan nilai
berkebalikan dengan p. Sedang ~(~p) memberikan nilai berkebalikan dengan ~p.
Maka tabelnya akan menjadi seperti berikut.
|
p
|
~p
|
~(~p)
|
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
Perhatikan bahwa kolom ketiga
~(~p) memiliki nilai kebenaran identik dengan p. Bila seperti ini, maka ~(~p)
dikatakan ekuivalen dengan p. Artinya, makna pernyataan keduanya sama. Ekspresi
yang ekuivalen adlaah ekspresi simbolik yang memiliki nilai
kebenaran yang identik satu sama lain. Ekspresi p 
q dibaca p ekuivalen
dengan q atau p dan q ekuivalen. Dari tabel diatas kita dapatkan bahwa ~(~p)
ekuivalen dengan p, dapat kita tuliskan p ~(~p).
q dibaca p ekuivalen
dengan q atau p dan q ekuivalen. Dari tabel diatas kita dapatkan bahwa ~(~p)
ekuivalen dengan p, dapat kita tuliskan p ~(~p).
CONTOH
Apakah pernyataan "Jika
saya pemilik rumah, saya yang membayar pajak bumi dan bangunan" dan
pernyataan "Saya pemilik rumah dan saya tidak membayar pajak bumi dan
bangunan" ekuivalen?
PENYELESAIAN
Kita mulai dengan memberikan
representasi simbolis dari pernyataan-pernyataan diatas.
p :
Saya pemilik rumah
q :
Saya membayar pajak bumi dan bangunan
p
-> q : jika saya pemilik rumah, saya membayar pajak
bumi dan bangunan.
p ^ ~p
:
Saya pemilik rumah dan saya tidak membayar pajak bumi dan bangunan.
Tabel kebenaran untuk kasus ini akan memuat empat baris.
Tabel yang akan kita gunakan seperti dibawah ini.
|
p
|
q
|
~q
|
p^~q
|
p -> q
|
|
B
|
B
|
|
|
|
|
B
|
S
|
|
|
|
|
S
|
B
|
|
|
|
|
S
|
S
|
|
|
|
Sekarang kita tinggal
memberikan nilai kebenaran yang sesuai pada masing-masing kolom. Kolom ~q, akan
kita isi dengan nilai kebenaran kebalikan dari kolom q. Kolom berikutnya isi B
di baris kedua dan S di baris lain, karena konjungsi mensyaratkan nilai
kebenaran B untuk setiap faktornya. Sedang pada kolom terakhir, karena
kondisional hanya salah bila p benar dan q salah, maka isikan baris kedua
dengan S dan B pada baris lain.
|
p
|
q
|
~q
|
p^~q
|
p -> q
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
Karena nilai-nilai kebenaran
di kolom p^~q tidak sama dengan p -> q, kedua pernyataan tersebut tidak
ekuivalen. Perhatikan bahwa p^~q dan p -> q memiliki nilai-nilai kebenaran
yang tepat berkebalikan. Bila hal ini terjadi pada dua pernyataan, pernyataan
majemuk yang satu merupakan negasi dari pernyataan majemuk yang lain.
Konsekuensinya, p^~q merupakan negasi dari p -> q. Hubungan ini dapat
diekspresikan dengan p^~q ~(p -> q). Negasi dari sebuah kondisional
ekuivalen dengan konjungsi premis dan negasi konklusinya.
Pernyataan yang terlihat
berbeda dalam kenyataan mungkin memiliki maksud yang sama. Ketika kita memiliki
dua pernyataan yang ekuivalen, kita dapat mengganti satu sama lain tanpa
mengubah maknanya. Faktor emosi yang mempengaruhi pemilihan pernyataan kita
pada prakteknya. Bukan pada maknanya.
Aturan
De Morgan
Sebelumnya, kita mendapatkan
bahwa p ~(~p). Aturan negasi yang lain yang sudah kita ketahui adalah
p^~q ~(p -> q), yang merupakan negasi dari sebuah kondisional. Apakah
kita dapat menemukan formula yang identik, yakni negasi, pada pernyataan
majemuk lain, yakni disjungsi dan konjungsi? Jawabannya adalah iya, yakni yang
dikemukakan oleh matematikawan logika asal Inggris Augustus de Morgan.
Aturan de Morgan, begitu
formula-formula negasi konjungsi dan disjungsi disebut, adalah sebagai berikut.
- Negasi dari sebuah konjungsi diberikan oleh ~(p ^ q) ~p v ~q
- Negasi dari sebuah disjungsi diberikan oleh ~(p v q) ~p ^ ~q